Maths 3ᵉ
Choisis ce que tu veux travailler. On rédige ensemble, une ligne à la fois.
Pythagore
Calcul littéral
Identités remarquables
Trigonométrie
Revoir les méthodes
Théorème — calculer une longueur
On cherche ___
Données
le triangle ___ est rectangle en ___
l'hypoténuse est donc ___
Propriété
d'après le théorème de Pythagore
___² = ___² + ___²
= ___² + ___²
= ___
___ = racine carrée de ___ = ___
Conclusion
___ = ___.
Réciproque et contraposée — le triangle est-il rectangle ?
le plus grand côté est ___
a) on calcule ___² = ___² = ___
b) on calcule ___² + ___² = ___² + ___² = ___
on remarque que ___² = ___² + ___² (ou bien ≠)
si = : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ___ est rectangle en ___.
si ≠ : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ___ n'est pas rectangle.
Développer et réduire
A = ___(___ + ___)
je multiplie ___ par chaque terme de la parenthèse
___ × ___ = ___
___ × ___ = ___
A = ___
Supprimer les parenthèses
A = ___ ___ (___ + ___)
le signe devant la parenthèse est ___ (+ ou −)
donc je change tous les signes (ou bien : je ne change rien)
la parenthèse devient ___
A = ___
je regroupe les x² : ___ = ___ (s’il y en a)
je regroupe les x : ___ = ___
je regroupe les nombres : ___ = ___
A = ___
Programmes de calcul
avec ___ : P₁ donne ___ puis ___
avec ___ : P₂ donne ___ puis ___
avec n, P₁ s'écrit N = ___
avec n, P₂ s'écrit R = ___
je développe N = ___
je développe R = ___ (si R a une parenthèse)
je compare N et R → N = R (ou bien N ≠ R)
si N = R : les deux programmes donnent toujours le même résultat. si N ≠ R : ils ne donnent pas toujours le même résultat.
Identités remarquables — comprendre
Le grand carré a pour côté a + b. Son aire, c'est (a + b)².
On le découpe en 4 morceaux : a², b², et deux rectangles ab.
Donc (a + b)² = a² + 2ab + b².
Les 3 formules à connaître par cœur
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
Le piège : (a + b)² n'est PAS a² + b².
(3 + 4)² = 7² = 49
alors que 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
Il manque les deux rectangles : 2 × 3 × 4 = 24, et 25 + 24 = 49.
Le carré porte sur le nombre ET sur la lettre.
(2x)² = 2x × 2x = 4x², et pas 2x².
Développer avec une identité
A = (___ + ___)²
je reconnais (a + b)² = a² + 2ab + b² (ou bien (a − b)², ou bien (a + b)(a − b))
a = ___ et b = ___
a² = (___)² = ___
2ab = 2 × ___ × ___ = ___ (pas pour (a + b)(a − b))
b² = ___² = ___
A = ___ + ___ + ___
Factoriser avec une identité
B = ___
je reconnais a² + 2ab + b² (ou bien a² − 2ab + b², ou bien a² − b²)
a² = ___ donc a = ___
b² = ___ donc b = ___
je vérifie : 2ab = 2 × ___ × ___ = ___ ✔ (pas pour a² − b²)
B = (___ + ___)² (ou bien (___ − ___)², ou bien (___ + ___)(___ − ___))
Calcul mental avec une identité
C = ___²
j'écris ___ = ___ + ___ (un nombre rond, plus ou moins un petit nombre)
je reconnais (a + b)² avec a = ___ et b = ___
a² = ___ ; 2ab = ___ ; b² = ___
C = ___ + ___ + ___
C = ___
Trigonométrie — comprendre
Le triangle ABC est rectangle en B. On regarde l'angle en A.
- L'hypoténuse est en face de l'angle droit : c'est le plus grand côté.
- Le côté adjacent touche l'angle A (et ce n'est pas l'hypoténuse).
- Le côté opposé est en face de l'angle A : il ne le touche pas.
SOH CAH TOA, à connaître par cœur
SOH : sin = opposé / hypoténuse
CAH : cos = adjacent / hypoténuse
TOA : tan = opposé / adjacent
Piège 1 : le mauvais rapport.
On connaît AC et on cherche AB. AB touche l'angle A : c'est l'adjacent, donc le cosinus.
AB = 8 × cos 35° ≈ 6,6 ✓
AB = 8 × sin 35° ≈ 4,6 ✗
Piège 2 : la calculatrice en radians.
Elle doit être en mode degrés (DEG, ou un petit D en haut de l'écran).
en degrés : cos 35° ≈ 0,819 ✓
en radians : cos 35 ≈ −0,904 ✗
Un cosinus négatif pour un angle du triangle : la calculatrice est en radians.
Piège 3 : arrondir trop tôt.
cos 35° ≈ 0,8 puis 8 × 0,8 = 6,4 ✗
8 × cos 35° = 6,553… ≈ 6,6 ✓
On tape tout le calcul d'un coup, on n'arrondit qu'à la fin.
Piège 4 : l'arrondi qui n'est pas celui demandé.
Au dixième = un seul chiffre après la virgule : 6,553… ≈ 6,6 (pas 6,55, pas 7).
Au degré = un nombre entier : 51,3…° ≈ 51°.
Le chiffre suivant vaut 5 ou plus ? On arrondit au-dessus : 6,553 ≈ 6,6 et pas 6,5.
Trigonométrie — choisir le bon rapport
Données
le triangle ___ est rectangle en ___, on regarde l'angle ___
l'hypoténuse est ___ (en face de l'angle droit)
le côté adjacent à l'angle ___ est ___ (il touche l'angle)
le côté opposé à l'angle ___ est ___ (en face de l'angle)
Propriété
on connaît ___ et on cherche ___ : j'utilise ___
SOH CAH TOA
Conclusion
___ ___ = ___ / ___
Trigonométrie — calculer une longueur
On cherche ___
Données
le triangle ___ est rectangle en ___
pour l'angle ___ : ___ est ___ et ___ est ___
Propriété
cos = adjacent / hypoténuse (ou sin, ou tan)
cos ___ = ___ / ___
cos ___° = ___ / ___
___ = ___ × cos ___° (ou ÷ si le côté cherché est en bas)
___ ≈ ___ cm (calculatrice en degrés)
Conclusion
___ ≈ ___ cm (arrondi demandé).
Trigonométrie — calculer un angle
On cherche l'angle ___
Données
le triangle ___ est rectangle en ___
pour l'angle ___ : ___ est ___ et ___ est ___
Propriété
cos = adjacent / hypoténuse (ou sin, ou tan)
cos ___ = ___ / ___
cos ___ = ___ / ___ (les longueurs)
___ = cos⁻¹(___ / ___)
___ ≈ ___° (calculatrice en degrés)
Conclusion
___ ≈ ___° (arrondi demandé).